Leendert Cornelis (Elco) Brinkman werd in 1948 geboren te Dirksland (Zuid-Holland). Hij studeerde politicologie en rechten aan de Vrije Universiteit te Amsterdam.
Van 1972-1974 was Brinkman als bestuurskundige verbonden aan de Vrije Universiteit. Vervolgens was hij enige tijd beleidsmedewerker van het coördinatiebureau voor het Noordelijk deel van de Randstad.
Van 1975-1979 was Brinkman medewerker (later: hoofd Bureau van de secretaris-generaal) bij het ministerie van Binnenlandse Zaken. In 1979 werd hij plaatsvervangend secretaris-generaal op dat departement, en van 1980-1982 was hij directeur-generaal Binnenlands Bestuur. In die hoedanigheden was Brinkman nauw betrokken bij kwesties als de gemeentewording van Lelystad, Almere en Zeewolde, en de provinciale indeling van genoemde gemeenten, de gemeente Dronten, en het restant van het openbaar lichaam Zuidelijke IJsselmeerpolders.
In 1982 werd Brinkman benoemd tot minister van Welzijn, Volksgezondheid en Cultuur in het kabinet-Lubbers I. In 1995 werd Brinkman voorzitter van Bouwend Nederland, de werkgeversvereniging van bouwbedrijven in Nederland.
In december 1971 trouwde Brinkman in Vollenhove met Janneke Salentijn. Zij werd in 1948 geboren in Meppel. Vanaf 1950 woonde ze in Emmeloord, waar haar ouders zich als pioniers hadden gevestigd. Na haar studie biologie aan de Vrije Universiteit gaf ze enkele jaren les in biologie en voedingsleer aan een middelbare school in Amsterdam. Daarna verhuisde ze met haar echtgenoot naar Leiden.